Классическая наука, в общем и целом, исходила из положения, что все в мире поддается рациональному объяснению. Тем самым, классические представления основывались на убежденности в принципиальной упорядоченности мира. В отличие от этого, в постклассичекой науке уверенность в строгой упорядоченности вселенной все более подвергается сомнению. Во многих случаях современная наука вынуждена обращаться к понятию «хаос», хорошо известному древней философии, но забытому научным познанием XVII—XIX вв.

Во всем мире, во всех древних религиях и воззрениях существовало объяснение такого понятия, как хаос.

Например, в «Теогонии» Гесиода мы видим, что хаос породил всех богов, то есть из хаоса происходят все известные нам греческие божества — от громовержца Зевса до Гекатонхейров, имеющих много форм.

В Китае хаос изображали в виде круга или яйца, из которого возникает всё — возникает из пустоты этого круга, из окружности, точнее даже, из нефритового кольца, которое вы много раз видели в музеях.

В Древней Индии говорится о великих циклах хаоса — Пралайях либо Маха-Пралайях. В течение Маха-Пралайи спит жизнь, спит все, и, согласно древним книгам, не существует ни моря, ни земли, ни звездного неба. Более древние тибетские тексты, например созданная еще до Будды Книга Дзиан, говорят о том же. Вначале не существовало ничего, все было в состоянии ожидания; две первопричины как своего рода первая пара зачинают всё: Пракрити, или Мулапракрити (первичная материя), и Пуруша (дух).

Мы встречаем хаос и в еврейской Каббале, где говорится об Адаме Кадмоне — не об Адаме и Еве, а о первом Адаме, об Адаме Кадмоне, первом, кто возникает из Хаоса; в Сефер Иецира также вначале рождается Кетер, Корона, как инициатор, причина всего проявленного — Малкута и Шекини.

В представлении жителей древнего Шумера, Вавилона и всех народов, населявших восточные горы и область между Тигром и Евфратом, хаос — это некий огромный предмет или большой диоритовый камень, который возник из черных, неведомых вод, и этим водам невозможно дать определение.

В библейском Ветхом Завете, который христиане заимствовали у евреев, говорится, что вначале ничего не было, и Бог создал землю и небеса.

Даже народы доколумбовой Америки, для нас немного экзотические и малоизвестные, и в «Пополь-Вухе», и в «Чилам Баламе» также упоминают хаос как исток всех вещей; во всех дошедших до нас книгах и кодексах хаос описывается как противоположность космосу, то есть порядку, который должен возникнуть.

По Платону, хаос предшествует каждому проявлению. Вслед за ним приходят чистые, абстрактные и абсолютные архетипы, они постепенно, шаг за шагом опускаются в материю, пока не создадут Вселенную и человека. Эту идею повторит Плотин в неоплатоническом учении о Макрокосме и микрокосме: Макрокосм, Вселенная, возникает из хаоса и дает начало микрокосму — малой жизни, или человеку, образу и отражению Вселенной.

Понятие хаоса встречается и у народов Северной Европы. В германской мифологии и у скандинавов хаос — начало всех вещей. Они пытались придать ему какой-то образ, но трудно дать образ тому, что невообразимо, описать то, что не поддается описанию, и поэтому они называют его Гимнунгагап. Это нечто подобное огромной застывшей бездне, где все существует в потенциале, а не в реальности; это бездонная пропасть, полная смерзшейся пыли с глыбой льда в самом центре. Глыбу эту лижет существо, напоминающее корову, лижет до тех пор, пока не придаст облик первичным элементам, которые должны воплотиться.

Даже сегодня в английских деревнях рассказывают о Хампти Дампти — персонаже, голова которого, столкнувшись со стеной, разбивается на тысячу кусков, и из этих кусков потом рождаются гномы и многие другие сказочные существа. То же происходит с индусским божеством Падма-пани, чья белая голова рассыпается на множество цветов и оттенков, уравновешивающих вселенную.

Древние греки противопоставляли хаос как неупорядоченное начало космосу как началу упорядоченному и гармоническому. Аналогичным образом ряд направлений современного научного познания не может обойтись без учета фактора принципиальной непредсказуемости объекта изучения. Так, в физике микромира известно, что элементарная частица может быть локализована во времени и пространстве приблизительно или условно. Еще большее значение отводит неупорядоченности такое научное направление как синергетика. С точки зрения синергетики, хаос (разумеется, наряду с той или иной мерой упорядоченности) есть неотъемлемая сторона всех процессов изменения и развития. Хаос — это принципиальная непредсказуемость, иррациональность. В этом смысле хаос есть творческое состояние. Именно ему мир обязан непрерывным обновлением, возникновением ранее не существовавшего. Однако хаос чреват и разрушительными последствиями. Поэтому он может быть опасен для человека и общества.

В сентябре 1981 года в Стэнфорде (США) состоялся международный симпозиум, посвященный рассмотрению проблем хаоса и порядка в приложении к различным сферам культуры и науки. Событием этого симпозиума стало выступление бельгийского химика русского происхождения Ильи Пригожина, лауреата Нобелевской премии 1977 года, который в докладе «Порядок из Хаоса» рассказал о своем открытии так называемых «рассеянных стрyктyp»

(«dissipative structures»), которые возникают в замкнутых системах, находящихся в неуравновешенном — т.е. хаотическом состоянии, и делает следующее заключение: «Концепция закона, «порядка», не может более рассматриваться как данная раз и навсегда, и сам механизм возникновения законов порядка из беспорядка и хаоса должен быть исследован» .

В своей статье «Философия нестабильности» Пригожин говорит о естественнонаучных причинах, позволивших говорить о новой концепции хаоса:

Это, во-первых, открытие неравновесных структур, которые возникают как результат необратимых процессов и в которых системные связи устанавливаются сами собой; это, во-вторых, вытекающая из открытия неравновесных структур идея конструктивной роли времени; и, наконец, это появление новых идей относительно динамических, нестабильных систем, — идей, полностью меняющих наше представление о детерминизме. А также открытиях в области элементарных частиц, продемонстрировавших фундаментальную нестабильность материи, а также о космологических открытиях, констатировавших, что мироздание имеет историю (тогда как традиционная точка зрения исключала какую бы то ни было историю универсума, ибо универсум рассматривался как целое, содержащее в себе все, что делало бессмысленным саму идею его истории).

Далее Пригожин делает некоторые выводы:

«…порядок и беспорядок сосуществуют как два аспекта одного целого и дают нам различное видение мира. Окружающая нас среда, климат, экология и, между прочим, наша нервная система могут быть поняты только в свете описанных представлений, учитывающих как стабильность, так и нестабильность. Идея нестабильности не только в каком-то смысле теоретически потеснила детерминизм, она, кроме того, позволила включить в поле зрения естествознания человеческую деятельность, дав, таким образом, возможность более полно включить человека в природу».

Французский культуролог Эдгар Морин полагает, что «мы должны научиться мыслить порядок и беспорядок в единстве». Наука все серьезнее обращается к диалогу со случайностью.

Обнаружение принципиальной хаотичности и неопределенности ряда процессов и состояний привело, в частности, к тому, что в современной науке, наряду с динамическими закономерностями, все большую роль играют закономерности вероятностно-статистические. Закономерности динамического типа позволяют предсказывать поведение объектов точно и определенно. Так, в классической механике, если известен закон движения тела, заданы его координаты и скорость, то по ним можно определенно вычислить положение тела в любой заданный момент времени. В отличие от этого, вероятностно-статистические закономерности не позволяют делать абсолютные предсказания. Кроме того, они применимы не к единичному телу или событию, а к их множеству. Вероятностно- статистические закономерности описывают и объясняют поведение больших совокупностей, или «коллективов» — элементарных частиц, атомов, молекул или человеческих индивидов. Сегодня вероятностно-статистические методы занимают в арсенале науки все большее место.

Метки: Онтология

Хаос можно использовать как оружие на поле сражения

Один из способов достижения победы заключается в том, чтобы призвать вашего соперника к проигрышу. В шахматах, боксе, политике и других конкурентных ситуациях можно выиграть, используя хаос в качестве оружия.


Источник

В фильме «Рокки 2» отважный левша Рокки Бальбоа перенимает традиционную правостороннюю стойку в боксе, чтобы сразиться с чемпионом Аполло Кридом. Львиную долю таймов Бальбоа представляет собой боксерскую грушу, но в финальном раунде переключается на свою стандартную левостороннюю стойку и нокаутирует растерявшегося Аполло.

На Первой и Второй мировых войнах искусством хаотичной военной тактики в совершенстве владел немецкий генерал Эрвин Роммель. Роммель побеждал, создавая ситуацию непредсказуемости, в которой никто не мог разобраться, и полагал, обычно не напрасно, что с хаосом можно импровизировать лучше своих врагов. Его быстрые броски и смелые независимые решения создавали цикл обратной связи: враг был в растерянности; что в свою очередь создавало непредвиденные возможности; Роммель использовал их, создавая хаос и новые варианты развития событий. Эта стратегия применима не только на поле сражений.

Быстрая скорость принятия решений, их непредсказуемость вводят соперника в замешательство и создают благоприятные условия для победы. Намеренно созданный хаос с успехом можно использовать как оружие в борьбе с более сильным, но тяжеловесным противником.

Хаос заставляет нас быть внимательными

Благодаря упорядоченности и автоматизации процессов мы здорово облегчаем себе жизнь и делаем меньше мелких ошибок. Пилотам самолетов не приходится постоянно держать штурвал, поскольку можно включить режим автопилота. И насколько стало проще оттого, что появился GPS!

Однако, мы слишком сильно полагаемся на автоматику и от этого хуже справляемся с непривычными и сложными условиями. Частенько мы и сами, как машины, действуем на «на автомате», из-за чего допускаем серьезные ошибки.

В конце 2009 года произошел нашумевший инцидент, когда два пилота на автопилоте (не в переносном значении) пролетели мимо аэропорта Миннеаполиса более чем на 160 километров. Они просто уткнулись в свои ноутбуки и отвлеклись.

Чтобы включить в себе режим повышенной внимательности, нам нужен хаос. Ведь если ситуация абсолютно непонятная, мы настораживаемся и пытаемся понять, как реагировать. Хаос можно создавать искусственно в некоторых ситуациях, которые требуют осторожности. Вот вам наглядный пример, как хаос использовался для предотвращения дорожных аварий.

Ловейплейн в голландском городе Драхтен был типичной сложной развязкой, на которой часто случались аварии. Много пешеходов, светофоров, пробки… Водители старались побыстрее проехать через развязку и не следили за другими участниками дорожного движения.

Голландский специалист по дорожному движению Ганс Мондерман трансформировал Ловейплейн в squareabout — кольцевую развязку с формой, похожей на квадрат. Система стала похожа на пешеходную зону за исключением того лишь факта, что к площади со всех четырех сторон направлялось прежнее количество машин. Squareabout однозначно заставляет понервничать — пути водителей, велосипедистов и пешеходов хаотично «переплетаются» между собой. И все же squareabout работает. Число дорожных аварий снизилось в два раза. Это происходит именно потому, что squareabout кажется опасным, а не безопасным, каким является на самом деле. Водители никогда не знают, что произойдет или куда поедет следующий велосипедист, и в результате этого они едут медленно и пребывают в постоянном ожидании проблем.


Источник

В искусственно хаотичном squareabout Мондермана водители никогда не имели возможности бессознательно смотреть вперед и переключаться на режим автоматического вождения, так нам всем знакомый. Хаос заставляет их быть внимательными, разбираться в ситуации и наблюдать друг за другом. Эта площадь — хаос в сочетании с замешательством. Именно поэтому она выполняет свою функцию.

Хаотичная система устойчивее упорядоченной

В стремлении к порядку мы строим целые системы, которые по итогу оказываются совершенно нежизнеспособными. Естественный природный хаос и многообразие на деле гораздо лучше, чем порядок.

В 18 веке в Германии была разработана система посадки норвежской ели, которая упорядочивала обычную хаотичность лесов. Саженцы высаживались в ряд, погибшие деревья вырубались, а гниющие стволы убирались. Лес стал удобным для расчетов и бизнеса.

Первое поколение аккуратно посаженных и очищаемых от гнили деревьев прекрасно росли, однако уже во времена второго поколения начались проблемы. Немецкие леса начали погибать.

Дело было в том, что изменилась экология леса и деревья стали чаще заболевать. Из-за отсутствия гнили и мертвых бревен почва стала скуднеть и уплотняться. Исчезло многообразие животного мира. Высокоорганизованная и простая система привела к краху.


Источник

Не только природным системам нужен хаос для устойчивости и здоровья. Это относится и к городам, экономике, организациям и другим системам.

В 1960-х годах писатель-урбанист Джейн Джекобс в своей книге писала, что городам желательнее иметь неэффективную мешанину различных отраслей, чем специализироваться на чем-то одном. Как показала практика, это на самом деле так. Английский город Бирмингем, «город тысячи ремесел», живет и процветает не одну сотню лет, в отличие от специализированных городов. Например, от того же Детройта, который когда-то считался автомобильной столицей мира и пришел в упадок после переноса производства в другие страны.

Системы, в которых царит разнообразие и хаос, гораздо устойчивее и выживают лучше, чем узконаправленные. И это закон природы.

По материалам книги «Хаос. Как беспорядок меняет нашу жизнь к лучшему».

Источник обложки

Можно ли прогнозировать хаотическое движение элементов какой-либо системы? От чего зависит хаотическая динамика? Может ли, наконец, взмах крыла бабочки вызвать торнадо? Некоторые важные ответы на эти и другие вопросы нашел американский метеоролог Эдвард Лоренц, (невольный) автор термина «эффект бабочки» и создатель «странного аттрактора». Рассказываем об этом в первом материале, посвященном самым интересным дифференциальным уравнениям.

В 1972 году профессор метеорологии из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц собирался выступить на конференции, но в пылу работы не успел отправить тему своей лекции. Организатор, спешивший разослать приглашения, выбрал заголовок за него: «Предсказуемость: может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» Так и появился термин «эффект бабочки», известный сегодня всему миру.

Эдвард Лоренц родился в 1917 году в небольшом городке в штате Коннектикут. Изучать атмосферные явления он решил еще в детстве, испытав потрясение от того, с какой легкостью солнечная погода может смениться бурей с громом и молниями.

Путь к исполнению мечты вышел долгим: магистратура в Гарварде, работа метеорологом в авиационном подразделении Армии США, защита диссертации в послевоенный период, наконец, должность научного сотрудника и, позже, профессора в MIT.

В своем выступлении Лоренц выделил несколько ключевых идей:

⦁ Если взмах крыла бабочки может вызвать торнадо, то точно так же на это способны все предыдущие и будущие взмахи, равно как и взмахи остальных миллионов бабочек, не говоря уже об активности бесчисленного населения нашей планеты.

⦁ Если взмах крыла бабочки способен вызывать торнадо, то в равной степени этот же взмах может его предотвратить.

Взмах крыла бабочки в данном контексте должен восприниматься как маленькое изменение начальных условий исследуемой системы, способное как вызвать торнадо, так и изменить его траекторию или вообще стать причиной его затухания.

В отличие от эффекта домино, где конкретное (обычно незначительное) действие приводит к конкретному (обычно значительному) результату, причем происходит это однозначно, взмах бабочки может не иметь никакого влияния на поведение торнадо.

Система Лоренца

Лоренц изучал конвекцию (теплообмен, возникающий за счет движения молекул жидкости или газа) в атмосфере Земли. Для описания подобных физических процессов часто пользуются моделью, которая включает в себя уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой ньютоновской жидкости (за исключением некоторых частных случаев, их решения в общем виде на данный момент неизвестны):

⦁ Уравнение движения в векторном виде:

Поделиться

⦁ Уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры в пространстве с течением времени:

Поделиться

⦁ Уравнение непрерывности, которое, по своей сути, описывает принцип сохранения массы чего-либо:

Поделиться

В оригинале эти три составляющие дают следующую систему:

Поделиться

Мы не будем углубляться в детальное объяснение всего вышеизложенного. Достаточно лишь понимать, что это довольно сложная модель, и Лоренцу в результате многостраничных выкладок удалось построить ее упрощение:

Поделиться

Здесь переменная с точкой сверху означает ее производную по времени. Более подробно:

  • x отвечает за интенсивность конвекции;
  • y отображает разность между температурами входящих и нисходящих потоков;
  • z характеризует отклонение вертикального температурного профиля от линейной зависимости;
  • σ > 1 — число Прандтля (критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах);
  • ρ > 0 — число Рэлея (отображает поведение жидкости под воздействием градиента температуры);
  • β > 0 — число, отражающее геометрию конвективной ячейки.

С помощью этой системы уравнений можно рассчитать, как будет вести себя текучая среда, которую равномерно разогревают снизу и охлаждают сверху. Так, как это происходит с воздушными потоками в атмосфере. В частности, она позволяет понять, к какому результату приведет даже небольшое изменение исходных параметров.

Хаотическое движение

Перед тем как приступить к непосредственному анализу полученной системы, рассмотрим некоторые комбинации траекторий. Для наглядности, воспользуемся теми же значениями параметров, что и сам Лоренц: σ = 10, ρ = 28, β = 8/3.

Изобразим движение двух точек, расстояние между которыми изначально невелико:

⦁ P0 = (0, 1, 1)
⦁ P1 = (0, 1, 1,01)

Довольно интересный результат! Поначалу траектории почти неразличимы, потом они отклоняются совсем ненамного, после чего разница становится уже значительной.

Попробуем еще раз, однако теперь возьмем точки на значительном отдалении друг от друга:

⦁ P0 = (−25, 20, −15)
⦁ P1 = (−15, 40, 15)

Даже несмотря на подобную разницу начальных условий, траектории попадают на фигуру, которую впоследствии не покидают. Очень странно, их будто что-то притягивает…

Странный аттрактор Лоренца

Действительно, эта фигура так и называется — странный аттрактор Лоренца (от английского attract — «притягивать»).

Формальное математическое определение звучит так: аттрактор — такое подмножество фазового пространства, что все траектории, стартующие не слишком далеко от него, стремятся к нему с течением времени. (Это одно из возможных определений понятия аттрактора, существуют и другие, не эквивалентные данному.)

Слово же «странный» здесь выступает в таком ключе: аттрактор как множество не представим в виде кривой или поверхности, он имеет более сложную, фрактальную структуру. Траектории аттрактора не замыкаются, а малые отклонения постоянно накапливаются, причем экспоненциально.

Сказанное выше можно проиллюстрировать так: две траектории, выпущенные из близких точек, со временем разбегаются достаточно далеко. Причем, чтобы отдалить момент разбегания, например, на одну секунду, нужно уменьшить расстояние между начальными точками, скажем, вдвое. А чтобы на две секунды — вчетверо. А на три — в восемь раз, и так далее.

Это означает, что, даже используя мощный компьютер, мы не можем просчитать траекторию, проходящую вблизи аттрактора, с разумной точностью на протяжении длительного промежутка времени. На каждом шаге вычислений неизбежно вносятся ошибки (из-за округления чисел и погрешностей численных методов), которые быстро накапливаются и приводят к тому, что найденная траектория сильно отличается от настоящей.

Такое искажение невозможно исправить, просто увеличивая мощность компьютера. Подобное явление называется «динамическим хаосом».

Ниже представлена модель странного аттрактора, с которой можно поэкспериментировать, меняя входящие значения. Для желающих более подробно изучить математическую сторону припасен еще один раздел сразу после модели.

Вы можете покрутить модель или увеличить/уменьшить ее масштаб (с помощью кнопок мыши на десктопе или пальцами на экране смартфона). Значение бегунков сверху вниз:

  • значение параметра σ;
  • значение параметра ρ;
  • значение параметра β;
  • плотность траекторий.

Оранжевые сферы — точки, движущиеся согласно системе Лоренца. Соответственно, синие линии — траектории этих точек.

Немного математики

Система Лоренца обладает несколькими замечательными свойствами:

⦁ Правая часть системы не имеет свободных членов, то есть она однородна.

⦁ Если тройка (x, y, z) является решением, то и (-x, -y, z) также подходит — система обладает симметрией.

Поделиться

⦁ Все траектории системы ограничены некоторым предельным множеством в силу отрицательности дивергенции векторного поля:

Поделиться

Иными словами, поток сжимает объем фазового пространства — это называется диссипативной системой.

Система Лоренца обладает точками равновесия, причем одна из них очевидна — E0 = (0, 0, 0). Попробуем найти другие:

Поделиться

В предположении, что x ≠ 0 (иначе решением будет (0, 0, 0)) и ρ ≥ 1, получим:

Поделиться

Таким образом, мы получили еще две точки равновесия при x ≠ 0, ρ ≥ 1:

Поделиться

Исследуем эти точки на устойчивость при помощи якобиана:

Поделиться

Начнем с точки E0 = (0, 0, 0):

Поделиться

Подкоренное выражение больше нуля, поэтому все собственные значения являются вещественными.

  • при ρ < 1 корни отрицательные — устойчивый узел;
  • при ρ = 1 существует нулевой корень — точка бифуркации;
  • при ρ > 1 существует положительный корень — неустойчивое седло.

Для оставшихся двух точек мы не будем подробно углубляться в выкладки, чтобы сохранить простоту восприятия.

Оказывается, что они либо одновременно устойчивы, либо одновременно неустойчивы. Асимптотическая устойчивость имеет место при справедливости одного из следующих условий:

Поделиться

Хаос по определению

Детерминизм зачастую приравнивался к предсказуемости, но Лоренцу удалось показать, что детерминизм способен дать лишь краткосрочное предсказание поведения системы, тогда как в долгосрочной перспективе последствия могут быть непредсказуемы. Именно это и означает термин «хаос».

Однако не стоит путать хаос с хаотичностью — аттрактор Лоренца яркий тому пример, ведь все траектории так или иначе ограничены и не покидают определенное множество.

А что же погода? Работа Лоренца привела к усовершенствованию систем, используемых для составления ее прогнозов:

  • на метеостанциях стали собирать значительно больше данных;
  • для вычислений в симуляциях моделей начали использоваться методы, позволяющие добиться большей точности;
  • метеорологи, проводящие эксперименты, осознали важность чувствительности системы к начальным условиям — они запускают большое количество симуляций, входные данные для которых обладают едва заметной разницей, и таким образом явление, происходящее в большинстве случаев, «признается» наиболее вероятным.

Слова практика: что мешает предсказывать погоду на месяц вперед?

Теоретически прогнозировать погоду по дням в деталях можно на две недели, а практически, на современном уровне развития науки, — на 5-7 дней. Я могу, конечно, повторить любимые мантры метеорологов: атмосфера — это хаотическая система с хорошо выраженной диссипацией и тому подобное.
На самом деле прогноз погоды… — это решение системы дифференциальных уравнений. Точность результата, то есть точность решения этих уравнений, зависит от начальных данных. Так вот, согласно современному пониманию фундаментальных законов природы, теоретическая минимальная ошибка начальных данных ведет к тому, что через две недели решение задачи перестает зависеть от этих самых начальных данных.
Другими словами, как бы мы ни старалась, спрогнозировать ситуацию более чем на две недели вперед уже невозможно. Увы! И это такая непростая философская ситуация, которую впервые осознали именно метеорологи: сколько ни развивай науку, две недели — это порог, и за этим порогом невозможно по дням прогнозировать.
Из интервью Романа Вильфанда, научного руководителя Гидрометцентра России Поделиться

Несмотря на кажущуюся простоту одноименной системы, Лоренцу удалось изменить взгляды многих математиков и физиков на привычные им вещи и стать основоположником новой ветви теории хаоса.

Лев Хорошанский

Литература

Аттракторы

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Простые хаотические системы

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решетку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах Стивена Вольфрама. Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» является моделью тора, которую он продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Zhang и Heidel доказали, что трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям, и поэтому представляют собой стабильные решения.

Математическая теория

Теорема Шарковского — это основа доказательства Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным периодом цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических орбит. Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивное измерение аттрактора, экспоненты Ляпунова, графики рекуррентного соотношения, отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения и оператор сдвига.

У этого термина существуют и другие значения, см. Теория хаоса (значения). Диаграмма раздвоения логистической карты, где x → r x (1 — x). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения r. Диаграмма отображает удвоение периода когда r увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием, эффект Коновала — распределение частот выпадения положительных результатов, или принятия правильных решений.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.

Рубрики: Статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *